Universität Karlsruhe (TH)

Mathematik

Mathe

Lie-Gruppen und Lie-Algebren

13.11.09, 11:33 Uhr

Inhaltsverzeichnis
1 Lie-Gruppen 1
1.1 Lineare Lie-Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Lie-Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Homomorphismen von linearen Lie-Gruppen und Lie-Algebren . . 21
1.4 Die Baker-Campbell-Hausdorff-Formel . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.5 Lie-Untergruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.6 Lie-Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.7 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2 Aufl¨osbare, nilpotente und halbeinfache Lie-Algebren 45
2.1 Aufl¨osbare und nilpotente Lie-Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2 Die S¨atze von Lie und Engel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.3 Die Killing-Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.4 Das Kriterium von Cartan f ¨ur Aufl¨osbarkeit . . . . . . . . . . . . . . 59
2.5 Halbeinfache Lie-Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.6 Das Kriterium von Cartan f ¨ur Halbeinfachheit . . . . . . . . . . . . 64
2.7 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3 Lie-Algebra-Kohomologie und Levi-Zerlegung 71
3.1 Derivationen einer halbeinfachen Lie-Algebra . . . . . . . . . . . . 71
3.2 Erweiterungen von Lie-Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.3 Die Lemmata von Whitehead . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4 Struktur der komplexen halbeinfachen Lie-Algebren 87
4.1 Die klassischen Lie-Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.2 Gewichtszerlegungen von Darstellungen . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.3 Cartan-Unteralgebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 4.4 Cartan-Unteralgebren von halbeinfachen Lie-Algebren . . . . . . . 102
4.5 Darstellungen halbeinfacher Lie-Algebren . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.6 Die irreduziblen Darstellungen von sl2(C) . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.7 Die Wurzelzerlegung einer halbeinfachen Lie-Algebra . . . . . . . . 113
4.8 Darstellungen kompakter Lie-Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.9 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5 Wurzelsysteme 119
5.1 Wurzelsysteme und Spiegelungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.2 Wurzelsysteme von halbeinfachen Lie-Algebren . . . . . . . . . . . 121
5.3 Basen von Wurzelsystemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.4 Cartan-Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.5 Die Weyl-Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.6 Coxeter-Graphen und Dynkin-Diagramme . . . . . . . . . . . . . . 137
5.7 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
6 Klassifikation komplexer einfacher Lie-Algebren 141
6.1 Borel-Unteralgebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
6.2 Weyl-Basen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
6.3 Die Haupts¨atze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
6.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
7 Die Lie-Algebra g2 147
7.1 Die Cayley-Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
7.2 Die Derivationsalgebra der Cayley-Zahlen . . . . . . . . . . . . . . 150
7.3 g2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
7.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
A Topologische Grundbegriffe 159 4.4 Cartan-Unteralgebren von halbeinfachen Lie-Algebren . . . . . . . 102
4.5 Darstellungen halbeinfacher Lie-Algebren . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.6 Die irreduziblen Darstellungen von sl2(C) . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.7 Die Wurzelzerlegung einer halbeinfachen Lie-Algebra . . . . . . . . 113
4.8 Darstellungen kompakter Lie-Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.9 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5 Wurzelsysteme 119
5.1 Wurzelsysteme und Spiegelungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.2 Wurzelsysteme von halbeinfachen Lie-Algebren . . . . . . . . . . . 121
5.3 Basen von Wurzelsystemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.4 Cartan-Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.5 Die Weyl-Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.6 Coxeter-Graphen und Dynkin-Diagramme . . . . . . . . . . . . . . 137
5.7 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
6 Klassifikation komplexer einfacher Lie-Algebren 141
6.1 Borel-Unteralgebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
6.2 Weyl-Basen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
6.3 Die Haupts¨atze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
6.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
7 Die Lie-Algebra g2 147
7.1 Die Cayley-Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
7.2 Die Derivationsalgebra der Cayley-Zahlen . . . . . . . . . . . . . . 150
7.3 g2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
7.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
A Topologische Grundbegriffe 159

lie.pdf

1,28 MB

torsten2000

25

2,43 bei 7 Bewertungen