hallöchen allerseits

ich kämpfe mich grad durch die grenzwerte und da ist aus einer alten klausur mir folgende aufgabe untergekommen, deren lösung ich nicht nachvollziehen kann. die aufgabe lautet:



und die lösung dazu



wie bitte recht schön soll das gehen? him ersten schritt wurde meiner meinung nach eine rechenregel angewendet, die nicht möglich ist, nämlich ln(a-b) = lna - lnb

das ergebnis ist hingegen in jedem fall richtig (taschenrechner)

kann mir jemand den schritt erklären, oder darf man an dieser stelle so rechnen weil in der differenz ein e^x steht?

danke schonmal im voraus

Korrigiert mich bitte, wenn ich falsch bin, aber es gilt doch: log(tief)b (b) = 1
d.h. ln e^x =log(tief)e e^x= x also gilt:
ln e^3x= 3x

Also ist ln e^3x schon ausgerechnet und somt dann danach x ausgeklammt.
Oder?

Ja also der rechenschrift vom Prof ist definitv falsch. Bei der Aufgabe würde ich es so machen:

lim ln(e^3*x - 5*x) / x

Da X gegen unendlich wird und die e Funktion schneller als lineare Funktionen wachsen gilt:

lim e^3*x >> 5*x

daraus folgt:

lim ln(e^3*x) / x

Wichtig: Das gilt nur für das Verhalten in Unendlichen!

Zum schluss haben wir halt:

lim 3*x / x = 3

fertisch

wieso dreimal?
eigentlich ist das ganz clever mit dem hospital. nach dem ersten ableiten erhältst du
(3e^3x-5)/(e^3x-5x),
und dann kannst du e^3x ausklammern und grenzwert bilden.

na gut, das seh ich ein )

und ästhetischer ist es natürlich auch, wenn am ende das ergebnis einfach dasteht, ohne dass man jemals einen grenzwert gebildet hat